Question

如图△ABC中，AB=AC，D为BC中点，E为AD上任意一点，过C作CF∥AB交BE的延长线于F，交AC于G，连接CE，下列结论：①AD平分∠BAC；②BE=CF；③BE=CE；④若BE=5，GE=4，则GF=

9

4

，其中正确结论的序号是（　　）

• A、②④
• B、①③
• C、②③④
• D、①③④

Answer 1

分析：根据等腰三角形三线合一的特点即可判断①③是否正确；关于④，可通过证△ECG和△EFC相似，根据相似三角形得出的对应成比例线段，来判断其结论是否正确．

解答：解：∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，BE=CE．
故①③正确．
∵CF∥AB（已知），
∴∠CFG=∠ABF（两直线平行，内错角相等）；
∵∠ABC=∠ACB（等边对等角），
∴∠CFG=∠ACE=∠ECG；
又∵∠CEG=∠FEC，
∴△ECG∽△EFC（AA）；
∴EC²=EG•EF；①
当BE=5，GE=4时，由①可得：EF=

25

4

；
∴GF=EF-GE=

25

4

-4=

9

4

；
因此④正确，
②BE=CF显然不正确，
所以①③④正确．
故选D．

点评：本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定和应用等知识，综合性强，难度较大．