Question

10．如图1，已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于点A（-4，0）和B（1，0），与y轴交于C点．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的长最大，并求此时P点的坐标；
（3）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接将A（-4，0），B（1，0）两点代入抛物线解析式求出即可；
（2）首先求出直线AC的解析式，再利用抛物线上和直线上点的坐标性质得出PQ的长度即可；
（3）利用S_△CEF=2 S_△BEF，得出$\frac{BF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{BF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，进而利用△BEF～△BAC，进而求出EO的长，即可得出E点的坐标．

解答 解：（1）由二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A（-4，0），B（1，0）两点可得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×（-4）^{2}-4b+c=0}\\{\frac{1}{2}×{1}^{2}+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
故所求二次函数解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2；

（2）如图1，
由抛物线与y轴的交点为C，则C点坐标为：（0，-2），
若设直线AC的解析式为：y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-2=0+b}\\{0=-4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
故直线AC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x-2，
若设P点的坐标为：（a，$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a-2），
又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线AC的交点，
则Q点的坐标为：（a，-$\frac{1}{2}$a-2），则有：
PQ=[-（$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a-2）]-（-$\frac{1}{2}$a-2）=-$\frac{1}{2}$a²-2a=-$\frac{1}{2}$（a+2）²+2，
即当a=-2时，线段PQ的长取最大值，此时P点的坐标为（-2，-3）；

（3）∵S_△CEF=2S_△BEF，
∴$\frac{BF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{BF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∵EF∥AC，
∴△BEF～△BAC，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
解得：BE=$\frac{5}{3}$，
故OE=$\frac{5}{3}$-1=$\frac{2}{3}$，
故E点的坐标为（-$\frac{2}{3}$，0）．

点评 此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，根据图象上点的坐标性质表示出PQ的长是解题关键．