Question

如图，△ABC内接于圆O，AD是⊙O的直径，经过点B作直径AD的垂线交⊙O于另一点E，交AC的延长线于点F．求证：BC•EF=AB•CF．

Answer 1

考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接DE，AE，由弦与直径垂直得出DB=DE，AB=AE，再由同一条弦所对的圆周角相等得出△FBC∽△FAE，得出

EF

FC

=

AE

BC

，由AB=AE即可推出结论．

解答：证明：如图，连接DE，AE，

∵BE是圆的弦且直径AD垂直BE，
∴DB=DE，AB=AE，
∵∠FBC=∠EAF，∠F=∠F，
∴△FBC∽△FAE，
∴

EF

FC

=

AE

BC

，
∵AB=AE，
∴BC•EF=AB•CF．

点评：本题主要考查了圆周角定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是求出△FBC∽△FAE．