Question

3、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P、Q是BC上两点，且满足BP²+CQ²=PQ²，则∠PAQ的度数是

45

°．

Answer 1

分析：由∠BAC=90°，AB=AC，可将△AQC逆时针绕点A旋转90°得△ADB，AC与AB重合，连DP，根据旋转的性质得到∠1=∠C，AD=AQ，BD=CQ，∠DAQ=90°，则∠C=∠ABC=∠1=45°，得到∠DBP=2∠C=90°，根据勾股定理和BP²+CQ²=PQ²，得到DP=PQ，则有△ADP≌△AQP，得到∠DAP=∠PAQ，而∠DAQ=90°，即可求出∠PAQ的度数．

解答：解：如图，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴将△AQC逆时针绕点A旋转90°得△ADB，AC与AB重合，连DP，
∴∠1=∠C，AD=AQ，BD=CQ，∠DAQ=90°，
而∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠1=45°，
∴∠DBP=2∠C=90°，
∴DP²=DB²+BP²，
而QC²+BP²=PQ²，
∴DP=PQ
∴△ADP≌△AQP，
∴∠DAP=∠PAQ，
而∠DAQ=90°，
∴∠PAQ=45°．
故答案为45．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理以及三角形全等的判定与性质．