Question

如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连接CD、AO．
（1）求证：CD∥AO；
（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若AO+CD=11，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）欲证CD∥AO，根据平行线的判断，证明∠DCB=∠OEB即可；
（2）由题可知求y与x之间的函数关系式，可以通过△BDC∽△AOB的比例关系式得出；
（3）求AB的长，因为AB是⊙O的切线，可先求OA，OB的长．AO+CD=11结合（2），解方程组并且检验，从而求解．

解答：（1）证明：连接BC交OA于E点，
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴AB=AC，∠1=∠2．
∴AE⊥BC．
∴∠OEB=90°．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DCB=90°．
∴∠DCB=∠OEB．
∴CD∥AO．

（2）解：∵CD∥AO，
∴∠3=∠4．
∵AB是⊙O的切线，DB是直径，
∴∠DCB=∠ABO=90°．
∴△BDC∽△AOB．
∴

BD

AO

=

DC

OB

．
∴

6

y

=

x

3

．
∴y=

18

x

．
∴0＜x＜6．

（3）解：由已知和（2）知：

x+y=11 xy=18

，（8分）
把x、y看作方程z²-11z+18=0的两根，
解这个方程得z=2或z=9，
∴

x1=2 y1=9

x2=9 y2=2

（舍去）．
∴AB=

92-32

=

72

=6

2

．

点评：本题综合考查的是平行线的判断，切线长定理，相似三角形，勾股定理及解方程组的综合运用．