Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．

（1）求k的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．

①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)4;(2) ①区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．

【解析】

（1）把A（4，1）代入中可得k的值；
（2）直线OA的解析式为：，可知直线l与OA平行，
①将b=-1时代入可得：直线解析式为，画图可得整点的个数；
②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图计算边界时点b的值，可得b的取值．

（1）把A（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4；

（2）①当b＝﹣1时，直线解析式为y＝x﹣1，

解方程＝x﹣1得x1＝2﹣2（舍去），x2＝2+2，则B（2+2，），

而C（0，﹣1），

如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；

②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y＝+b过（1，﹣1）时，b＝﹣，且经过（5，0），

∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．

如图3，直线l在OA的上方时，

∵点（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象G，

当直线l：y＝+b过（1，2）时，b＝，

当直线l：y＝+b过（1，3）时，b＝，

∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．

综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．