Question

5．如图，正方形ABCD的边长BC=2，在BC的延长线上截取CE=1，CF=4，AF，DE相交于G，连结CG，求证：CG•AF=AB•CF．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到AD∥BF，根据相似三角形的性质得到$\frac{AG}{GF}$=$\frac{AD}{EF}$，根据已知条件得到$\frac{AF}{GF}=\frac{BF}{GF}$，推出△ABF∽△CGF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BF，
∴△ADG∽△GEF，
∴$\frac{AG}{GF}$=$\frac{AD}{EF}$，
∵CE=1，CF=4，BC=2，
∴AD=BC=2，EF=3，
∴$\frac{AG}{GF}$=$\frac{2}{3}$，
∵∠B=90°，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴GF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∵$\frac{AF}{CF}=\frac{2\sqrt{10}}{4}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{BF}{GF}$=$\frac{6}{\frac{6\sqrt{10}}{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴$\frac{AF}{GF}=\frac{BF}{GF}$，
∵∠F=∠F，
∴△ABF∽△CGF，
∴$\frac{AB}{CG}=\frac{AF}{CF}$，
∴CG•AF=AB•CF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．