Question

12．【阅读】
在平面直角坐标系中，以任意两点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）为端点的线段中点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．
【运用】
（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）．
（2）在（1）的条件下，若P是线段PM上一点，且OP能把△OFM分成面积相等的两部分，则点P的坐标为（1，$\frac{9}{4}$）
（3）在直角坐标系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
（提示：运用平行四边形对角线互相平分解决比较简单）

Answer 1

分析 （1）因为M是OE的中点，所以利用中点坐标公式代入可得M的坐标；
（2）根据三角形中线将三角形分成面积相等的两个三角形可知：P是FM的中点，利用中点坐标公式可得结论；
（3）存在三种情况：
①当AC和BC为平行四边形的边时，
②当BC和CD₂为平行四边形的边时，
③当AC和AB为平行四边形的边时，
分别根据平行四边形对角线互相平分，即对角线的交点即为对角线的中点，由中点坐标公式代入可得结论．

解答 解：（1）∵四边形ONEF是矩形，
∴M是OE的中点，
∵O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），
∴M（$\frac{4}{2}$，$\frac{3}{2}$），即M（2，$\frac{3}{2}$）；
故答案为：（2，$\frac{3}{2}$）；
（2）∵OP能把△OFM分成面积相等的两部分，
即S_△OPF=S_△OPM，
∴P是FM的中点，
∵F（0，3），M（2，$\frac{3}{2}$），
∴P（$\frac{0+2}{2}$，$\frac{3+\frac{3}{2}}{2}$），即P（1，$\frac{9}{4}$）；
故答案为：（1，$\frac{9}{4}$）；
（3）如图，有三种情况：
①当AC和BC为平行四边形的边时，连接对角线AB、CD₁交于E，
∴AE=EB，CE=ED₁，
∵A（-1，2），B（3，1），
∴E（1，$\frac{3}{2}$），
∵C（1，4），
∴D₁（1，-1）；
②当BC和CD₂为平行四边形的边时，连接对角线BD₂和AC交于G，
同理可得D₂（-3，5）；
③当AC和AB为平行四边形的边时，连接 AD₃和BC交于F，
同理可得D₃（5，3）；
综上所述，点D的坐标为（1，-1）或（-3，5）或（5，3）．

点评 本题是阅读材料问题，考查了中点坐标公式的理解和运用，还考查了平行四边形的性质及三角形中线的性质，认真阅读，注意公式的运用，第三问不要丢解．