Question

7．如图，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3和x轴、y轴的交点分别为B，C，点A的坐标是（-$\sqrt{3}$，0），∠ABC=30°，若动点M从B点出发沿BC运动，运动的速度为每秒1个单位长度，当点M运动到C点时停止运动，设点M运动t秒时，△ABM的面积为S．
（1）求S与t的函数关系式；
（2）若△ABC的面积表示为S_△ABC，当t为何值时，S=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$？
（3）当t=4时，在坐标轴上是否存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先作MN⊥AB于点N，连接AM，分别求出BM、MN的长度各是多少；然后根据直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3和x轴、y轴的交点分别为B，C，求出点B、C的坐标各是多少，进而求出AB的长度是多少；最后根据三角形的面积公式，求出S与t的函数关系式即可．
（2）首先根据三角形的面积的求法，求出△ABC的面积是多少；然后根据S=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，求出t的值是多少即可．
（3）根据题意，分三种情况：①点P在x轴上时；②点P在y轴上，且BP为斜边时；③点P在y轴上，且BP为另一条直角边时；然后根据直角三角形的性质分类讨论，求出P点坐标各是多少即可．

解答 解：（1）如图1，作MN⊥AB于点N，连接AM，，
∵点M运动的速度为每秒1个单位长度，
∴点M运动t秒时，BM=t，
∵∠ABC=30°，∠MNB=90°，
∴MN=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$t，
∵直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3和x轴、y轴的交点分别为B，C，
∴B（3$\sqrt{3}$，0），C（0，3），
又∵点A的坐标是（-$\sqrt{3}$，0），
∴AB=3$\sqrt{3}$-（-$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$t=$\sqrt{3}$t．

（2）∵AB=4$\sqrt{3}$，OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×3$=6$\sqrt{3}$，
由$\sqrt{3}$t=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
解得t=3，
∴当t为3时，S=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$．

（3）当t=4时，在坐标轴上存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形．
①如图2，，
∵点M运动的速度为每秒1个单位长度，
∴当t=4时，BM=4，
∵∠ABC=30°，∠PMB=90°，
∴BP=BM÷cos30°=4÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{8}{3}\sqrt{3}$，
∴OP=OB-BP=3$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴点P的坐标是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）．

②如图3，PM和AB相交于点N，，
∵点M运动的速度为每秒1个单位长度，
∴当t=4时，BM=4，
∵∠ABC=30°，∠NMB=90°，
∴BN=BM÷cos30°=4÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{8}{3}\sqrt{3}$，
∴ON=OB-BN=3$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠MNB=90°-30°=60°，∠ONP=∠MNB，
∴∠ONP=60°，
∴OP=ON•tan60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}=1$，
∴点P的坐标是（0，-1）．

③如图4，，
∵OC=3，∠ABC=30°，∠BOC=90°，
∴BC=2×3=6，∠PCB=90°-30°=60°，
又∵∠PBC=90°，
∴∠BPC=90°-60°=30°，
∴CP=2BC=2×6=12，
∴OP=CP-OC=12-3=9，
∴点P的坐标是（0，-9）．
综上，可得
当t=4时，在坐标轴上存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形，
点P的坐标是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）、（0，-1）或（0，-9）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握．