如图.已知抛物线m的解析式为y=x2-4.与x轴交于A.C两点.B是抛物线m上的动点.且B在x轴的下方.抛物线n与抛物线m关于x轴对称.以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．(1)求证:点D一定在抛物线n上．(2)平行四边形ABCD能否为矩形?若能为矩形.求出这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件.则求此矩形的面积),若不能为矩形.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知抛物线m的解析式为y=x²-4，与x轴交于A、C两点，B是抛物线m上的动点（B不与A、C重合），且B在x轴的下方，抛物线n与抛物线m关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．
（1）求证：点D一定在抛物线n上．
（2）平行四边形ABCD能否为矩形？若能为矩形，求出这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；若不能为矩形，请说明理由．
（3）若（2）中过A、B、C、D的圆交y轴于E、F，而P是弧CF上一动点（不包括C、F两点），连接AP交y轴于N，连接EP交x轴于M．当P在运动时，四边形AEMN的面积是否改变？若不变，则求其面积；若变化，请说明理由．

（1）证明：设n的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵n与x轴的交点为A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），m与n关于x轴对称，
∴m过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4），
∴

4a-2b+c=0

4a+2b+c=0

c=4

∴a=-1，b=0，c=4，
即n的解析式为y=-x²+4，
设点B（m，n）为m：y=x²-4上任意一点，则n=m²-4，
∵四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称，
∴B、D关于原点O对称，
∴点D的坐标为D（-m，-n）．
由式方程式可知，-n=-（m²-4）=-（-m）²+4，
即点D的坐标满足y=-x²+4，
∴点D在n上．

（2）?ABCD能为矩形．
过点B作BH⊥x轴于H，由点B在m：y=x²-4上，可设点B的坐标为（x₀，x₀²-4），
则OH=|x₀|，BH=|x₀²-4|．
易知，当且仅当BO=AO=2时，?ABCD为矩形．
在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x₀|²+|x₀²-4|²=2²，
（x₀²-4）（x₀²-3）=0，
∴x₀=±2（舍去）、x₀=±

．（7分）
所以，当点B坐标为B（

，-1）或B′（-

，-1）时，?ABCD为矩形，
此时，点D的坐标分别是D（-

，1）、D′（

，1）．
因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′．

（3）设直线AB与y轴交于E，显然，△AOE∽△AHB，
∴

，
∴

．
∴EO=4-2

．
由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面积为
S=2S_△ACE=2×

×AC×EO=2×

×4×（4-2

）=16-8

．即四边形AEMN的面积不改变，为16-8

．

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如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=-

x²+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=-

x²+bx+c交于第四象限的F点．
（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒

个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．

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如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为4，A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、

D两点，过C点作⊙A的切线BC交x轴于B．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若一抛物线与x轴的交点恰为⊙A与x轴的两个交点，且抛物线的顶点在直线上y=

x+2

上，求此抛物线的解析式；
（3）试判断点C是否在抛物线上，并说明理由．

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OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．
（1）如图1，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕y₁所在直线的解析式；
（2）如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E'．
①求折痕AD所在直线的解析式；
②再作E'F∥AB，交AD于点F．若抛物线y=-

x²+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数．
（3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点D'、G'，使纸片沿D'G'翻折后，点O落在BC边上，记为E''．请你猜想：折痕D'G'所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想．

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在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处起脚射门，当球飞行的水平距离为6米时达到最高点，此时球高为3米．
（1）如图建立直角坐标系，当球飞行的路线为一抛物线时，求此抛物线的解析式．
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如图，已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

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如图①，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于O、A两点直线y=-x+3与y轴交于B点，与该抛物线交于A，D两点，已知点D横坐标为-1．（1）求这条抛物线的解析式；
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