Question

16．已知：如图1，在?ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，AB⊥BD，△ABD沿BC的方向匀速平移得到△A′B′D′，速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（0＜t≤5），A′B′与BD相交于点M，B′D′与DC相交于点N，连接MN，解答下列问题：
（1）判断四边形A′B′CD的形状，并说明理由；
（2）设四边形A′B′CD的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使MN∥BC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）结论：四边形A′B′CD是平行四边形；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判断；
（2）根据y=A′B′•DM计算即可；
（3）由MN∥BC，可得BM：DB=CN：CD，求出CN，可得方程：t：4=$\frac{3}{4}$（4-t）：3，解方程即可；

解答 解：（1）结论：四边形A′B′CD是平行四边形；
理由：∵A′B′∥CD，BC′∥DA′，
∴四边形A′B′CD是平行四边形．

（2）如图2中，

在Rt△BCD中，∵BC=5，CD=3，
∴BD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴y=A′B′•DM=3（4-t）=-3t+12．

（3）∵MB′∥CD，
∴DM：DB=CB′：CB，
∴（4-t）：4=CB′：5，
∴CB′=$\frac{5}{4}$（4-t），
∵NB′∥BD，
∴CB′：CB=CN：CD，
∴$\frac{5}{4}$（4-t）：5=CN：3，
∴CN=$\frac{3}{4}$（4-t），
∵MN∥BC，
∴BM：DB=CN+CD，
∴t：4=$\frac{3}{4}$（4-t）：3，
∴t=2，
∴t=2s时，MN∥BC．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．