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(2012•台州)定义:P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离.
已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中四点.
(1)根据上述定义,当m=2,n=2时,如图1,线段BC与线段OA的距离是
2
2
;当m=5,n=2时,如图2,线段BC与线段OA的距离为
5
5

(2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上,线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于m的函数解析式.
(3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的中点为M,
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;
②点D的坐标为(0,2),m≥0,n≥0,作MH⊥x轴,垂足为H,是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)理解新定义,按照新定义的要求求出两个距离值;
(2)如答图2所示,当点B落在⊙A上时,m的取值范围为2≤m≤6:
当4≤m≤6,显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径,即d=2;
当2≤m<4时,作BN⊥x轴于点N,线段BC与线段OA的距离等于BN长;
(3)①在准确理解点M运动轨迹的基础上,画出草图,如答图3所示.由图形可以直观求出封闭图形的周长;
②如答图4所示,符合题意的相似三角形有三个,需要进行分类讨论,分别利用点的坐标关系以及相似三角形比例线段关系求出m的值.
解答:解:(1)当m=2,n=2时,
如题图1,线段BC与线段OA的距离(即线段AB长)=2;
当m=5,n=2时,
B点坐标为(5,2),线段BC与线段OA的距离,即为线段AB的长,
如答图1,过点B作BN⊥x轴于点N,则AN=1,BN=2,
在Rt△ABN中,由勾股定理得:AB=
AN2+BN2
=
12+22
=
5


(2)如答图2所示,当点B落在⊙A上时,m的取值范围为2≤m≤6:
当4≤m≤6,显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径,即d=2;
当2≤m<4时,作BN⊥x轴于点N,线段BC与线段OA的距离等于BN长,
ON=m,AN=OA-ON=4-m,在Rt△ABN中,由勾股定理得:
∴d=
22-(4-m)2
=
4-16+8m-m2
=
-m2+8m-12


(3)①依题意画出图形,点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示:
由图可见,封闭图形由上下两段长度为8的线段,以及左右两侧半径为2的半圆所组成,
其周长为:2×8+2×π×2=16+4π,
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为:16+4π.
②结论:存在.
∵m≥0,n≥0,∴点M位于第一象限.
∵A(4,0),D(0,2),∴OA=2OD.
如答图4所示,相似三角形有三种情形:
(I)△AM1H1,此时点M纵坐标为2,点H在A点左侧.
如图,OH1=m+2,M1H1=2,AH1=OA-OH1=2-m,
由相似关系可知,M1H1=2AH1,即2=2(2-m),
∴m=1;
(II)△AM2H2,此时点M纵坐标为2,点H在A点右侧.
如图,OH2=m+2,M2H2=2,AH2=OH2-OA=m-2,
由相似关系可知,M2H2=2AH2,即2=2(m-2),
∴m=3;
(III)△AM3H3,此时点B落在⊙A上.
如图,OH3=m+2,AH3=OH3-OA=m-2,
过点B作BN⊥x轴于点N,则BN=M3H3=n,AN=m-4,
由相似关系可知,AH3=2M3H3,即m-2=2n  (1)
在Rt△ABN中,由勾股定理得:22=(m-4)2+n2  (2)
由(1)、(2)式解得:m1=
26
5
,m2=2,
当m=2时,点M与点A横坐标相同,点H与点A重合,故舍去,
∴m=
26
5

综上所述,存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似,m的取值为:1、3或
26
5
点评:本题是以圆为基础的运动型压轴题,综合考查了圆的相关性质、相似三角形、点的坐标、勾股定理、解方程等重要知识点,难度较大.本题涉及动线与动点,运动过程比较复杂,准确理解运动过程是解决本题的关键.第(3)①问中,关键是画出点M运动轨迹的图形,结合图形求解一目了然;第(3)②问中,注意分类讨论思想的运用,避免漏解.
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科目:初中数学 来源: 题型:

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