Question

（2012•台州）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．
已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是

2

；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为

5

；
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；
②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）理解新定义，按照新定义的要求求出两个距离值；
（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：
当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；
当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长；
（3）①在准确理解点M运动轨迹的基础上，画出草图，如答图3所示．由图形可以直观求出封闭图形的周长；
②如答图4所示，符合题意的相似三角形有三个，需要进行分类讨论，分别利用点的坐标关系以及相似三角形比例线段关系求出m的值．

解答：解：（1）当m=2，n=2时，
如题图1，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）=2；
当m=5，n=2时，
B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，
如答图1，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=

AN2+BN2

=

12+22

=

5

．

（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：
当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；
当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，
ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：
∴d=

22-(4-m)2

=

4-16+8m-m2

=

-m2+8m-12

．

（3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：
由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，
其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．
②结论：存在．
∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．
∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．
如答图4所示，相似三角形有三种情形：
（I）△AM₁H₁，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．
如图，OH₁=m+2，M₁H₁=2，AH₁=OA-OH₁=2-m，
由相似关系可知，M₁H₁=2AH₁，即2=2（2-m），
∴m=1；
（II）△AM₂H₂，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．
如图，OH₂=m+2，M₂H₂=2，AH₂=OH₂-OA=m-2，
由相似关系可知，M₂H₂=2AH₂，即2=2（m-2），
∴m=3；
（III）△AM₃H₃，此时点B落在⊙A上．
如图，OH₃=m+2，AH₃=OH₃-OA=m-2，
过点B作BN⊥x轴于点N，则BN=M₃H₃=n，AN=m-4，
由相似关系可知，AH₃=2M₃H₃，即m-2=2n  （1）
在Rt△ABN中，由勾股定理得：2²=（m-4）²+n²  （2）
由（1）、（2）式解得：m₁=

26

5

，m₂=2，
当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，
∴m=

26

5

．
综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，m的取值为：1、3或

26

5

．

点评：本题是以圆为基础的运动型压轴题，综合考查了圆的相关性质、相似三角形、点的坐标、勾股定理、解方程等重要知识点，难度较大．本题涉及动线与动点，运动过程比较复杂，准确理解运动过程是解决本题的关键．第（3）①问中，关键是画出点M运动轨迹的图形，结合图形求解一目了然；第（3）②问中，注意分类讨论思想的运用，避免漏解．