Question

问题：你能比较两个数2012²⁰¹³与2013²⁰¹²的大小吗为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（即是自然数）．然后，我们分析n=1，n=2，n=3…这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，才想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小
①1²

＜

2¹  ②2³

＜

3²    ③3⁴

＞

4³    ④4⁵

＞

5⁴
⑤5⁶

＞

6⁵  ⑥6⁷

＞

7⁶
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系；
（3）根据下面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：2012²⁰¹³

＞

2013²⁰¹²．

Answer 1

分析：（1）根据有理数的乘方分别计算即可比较出大小；
（2）根据n的取值范围讨论解答；
（3）根据（2）的结论判断出大小．

解答：解：（1）①∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹；
②∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²；
③∵3⁴=81，4³=64，
∴3⁴＞4³；
④∵4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵＞5⁴；
⑤∵5⁶=15625，6⁵=7776，
∴5⁶＞6⁵；
⑥∵6⁷=279936，7⁶=117649，
∴6⁷＞7⁶；

（2）n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵2012＞3，
∴2012²⁰¹³＞2013²⁰¹²．
故答案为：（1）＜、＜、＞、＞、＞、＞；（3）＞．

点评：本题考查了有理数的乘方，有理数的大小比较，熟记乘方的概念并准确计算是解题的关键．