Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，若BE=6，BD=6

3

．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）利用切线的性质结合勾股定理求出r的值即可；
（2）首先得出△ODE为等边三角形，再利用S_阴影=S_扇形AOD-S_△AOD求出即可．

解答：解：（1）连接OD，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
设⊙O的半径为r，在直角三角形ODB中，
r²+（6

3

）²=（r+6）²
解得：r=6；

（2）连接DE，由（1）知，OE=BE，
则DE=

1

2

OB=6，
故△ODE为等边三角形，
则∠DOE=60°，S_△EOD=

1

2

×6×

3

2

×6=9

3

，
则∠AOD=120°，
∵O是AE中点，
∴S_△AOD=S_△EOD=9

3

，
∴S_阴影=S_扇形AOD-S_△AOD=

120π×62

360

-9

3

=12π-9

3

．

点评：此题主要考查了切线的性质以及扇形面积求法以及勾股定理等知识，得出△ODE为等边三角形是解题关键．