Question

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D在边BC上，BD=5CD，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求BE的长；
（2）求∠BCE的正切值．

Answer 1

分析 （1）先在直角△ACB中利用勾股定理求出AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5．再根据余弦函数的定义得出cosB=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$即可求出BE=$\frac{3}{5}$BD=$\frac{3}{2}$；
（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F．根据三角函数的定义得出cosB=$\frac{BF}{BE}$=$\frac{3}{5}$，sinB=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，那么BF=$\frac{3}{5}$BE=$\frac{9}{10}$，EF=$\frac{4}{5}$BE=$\frac{6}{5}$，CF=BC-BF=3-$\frac{9}{10}$=$\frac{21}{10}$，然后利用正切函数的定义即可求解．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
∵DE⊥AB，
∴cosB=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∵BD=5CD，BD+CD=BC=3，
∴BD=$\frac{5}{2}$，
∴BE=$\frac{3}{5}$BD=$\frac{3}{2}$；

（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F．
则cosB=$\frac{BF}{BE}$=$\frac{3}{5}$，sinB=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴BF=$\frac{3}{5}$BE=$\frac{9}{10}$，EF=$\frac{4}{5}$BE=$\frac{6}{5}$，
∴CF=BC-BF=3-$\frac{9}{10}$=$\frac{21}{10}$，
∴tan∠BCE=$\frac{EF}{CF}$=$\frac{\frac{6}{5}}{\frac{21}{10}}$=$\frac{4}{7}$，
即∠BCE的正切值为$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理与锐角三角函数的定义是解题的关键．