Question

在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与线段BA、BD、BC分别相交于点E、P、F，且∠BPF=60°．
（1）如图1，写出图中所有与△BDC相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线l向右平移，与线段BA、BD、BC或其延长线分别相交于E、P、F，请在图2中画出一个与图1位置不尽相同的图形（其它条件不变），此时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），△BPE的面积是△BPF的面积的2倍？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）．

Answer 1

解：（1）△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB．
以△BDC∽△BFP以为例，证明如下：
∵∠C=∠BPF=60°，∠CBD=∠PBF，
∴△BDC∽△BFP．

（2）结论均成立，△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB．

（3）BD平分∠ABC时，△BPE的面积是△BPF的面积的2倍．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．
∴PF=PB．
又∵∠BEP=∠PBE=30°，
∴PE=PB．
∴PF=PE．
∴△BPE的面积是△BPF的面积的2倍．
分析：（1）△EFB和△BDC相似：∠ABC=∠C=60°，∠BEP=∠DBC=60°-∠ABD；△BPF和△BDC相似：∠PBF=∠CBD，∠BPF=∠C=60°；由前面可知△BDC∽△BFP．
（2）结论均成立，证法同（1）．
（3）如果△BPE的面积是△BPF的面积的2倍，那么PE=2PF，根据（1）中得出的△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB，因此△BFP∽△EFB，那么EF：BF=BF：PF，BF²=EF•PF，BF=2PF，又有BE：BP=EF：BF，BF=PF，因此BF：PF==tan60°，而∠BPF=60°，所以∠BFP=90°，∠PBF=30°，因此∠EBP=30°，因此BD平分∠ABC．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定等知识点，（3）中根据相似三角形得出相关线段的比例关系是解题的关键．