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5.如图,P为反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x>0)在第一象限内图象上的一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数y=-x-2的图象于点A、B.若AO、BO分别平分∠BAP、∠ABP,则k的值为2.

分析 如图,连接OP,作AM⊥y轴于M,设A交y轴于N.首先证明OP是第一象限是角平分线,设P(a,a),则A(a,-a-2),B(-a-2,a),可得PB=2a+2,PA=2a+2,推出PA=PB,推出∠PBA=∠PAB=45°,推出∠OAN=∠OAP=∠AON=22.5°,推出∠ANM=∠NOA+∠NAO=45°,推出AM=MN=a,AN=ON=$\sqrt{2}$a,推出A(a,-a-$\sqrt{2}$a),可得方程-a-$\sqrt{2}$a=-a-2,由此即可解决问题.

解答 解:如图,连接OP,作AM⊥y轴于M,设A交y轴于N.

∵AO、BO分别平分∠BAP、∠ABP,
∴点O是△PAB的内心,
∴OP平分∠APB,
∵∠APB=90°,
∴∠OPA=∠OPB=45°,
∴OP是第一象限是角平分线,设P(a,a),则A(a,-a-2),B(-a-2,a),
∴PB=2a+2,PA=2a+2,
∴PA=PB,
∴∠PBA=∠PAB=45°,
∴∠OAN=∠OAP=∠AON=22.5°,
∴∠ANM=∠NOA+∠NAO=45°,
∴AM=MN=a,AN=ON=$\sqrt{2}$a,
∴A(a,-a-$\sqrt{2}$a),
∴-a-$\sqrt{2}$a=-a-2,
∴a=$\sqrt{2}$,
∴P($\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$),
∵点P在y=$\frac{k}{x}$上,
∴k=2,
故答案为2.

点评 本题考查三角形的内心、反比例函数、一次函数、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考常填空题中的压轴题.

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