Question

11．已知点A（-1，2），点C（2，1）沿0A方向平移$\sqrt{5}$个单位得出点B，判断四边形0ABC的形状，并证明你的结论；求出直线0A和BC之间的距离．

Answer 1

分析 由勾股定理求出OA、OC，得出OA=OC，由平移的性质得出BC=$\sqrt{5}$，BC∥OA，得出BC=OA，证出四边形OABC是平行四边形，即可得出结论；连接OB，作AM∥y轴，CM∥x轴，AM、CM交于M，则AM=CM=3，∠M=90°，由勾股定理求出AC、OB，由菱形OABC面积的两种计算方法即可得出直线0A和BC之间的距离．

解答 解：四边形0ABC是菱形；理由如下：
∵A（-1，2），点C（2，1），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OA=OC，
∵沿0A方向平移$\sqrt{5}$个单位得出点B，
∴BC=$\sqrt{5}$，BC∥OA，
∴BC=OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∴四边形OABC是菱形；
设直线0A和BC之间的距离为h，
作BD⊥OA于D，连接OB，作AM∥y轴，CM∥x轴，AM、CM交于M，如图所示：
则AM=CM=3，∠M=90°，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵OB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴菱形OABC的面积=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=3，
又∵菱形OABC的面积=OA•h=3，
∴h=$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
即直线0A和BC之间的距离为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质、平移的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是需要作辅助线和多次运用勾股定理才能得出结果．