Question

19．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（-4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（　　）

• A． y=$\frac{3}{x}$
• B． y=$\frac{4}{x}$
• C． y=$\frac{5}{x}$
• D． y=$\frac{6}{x}$

Answer 1

分析 过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB=∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=BE=4，CE=OB=3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．

解答 解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBE，
∵点A的坐标为（-4，0），
∴OA=4，
∵AB=5，
∴OB=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
在△ABO和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠CBE}\\{∠AOB=∠BEC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA=BE=4，CE=OB=3，
∴OE=BE-OB=4-3=1，
∴点C的坐标为（3，1），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象过点C，
∴k=xy=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{3}{x}$．
故选A．

点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键．