Question

如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，AD⊥BC于D，求证：AB²-AC²=2BC•DM．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：证明题

分析：由AD垂直于BC，得到三角形ABD与三角形ADC都为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，相减表示出AB²-AC²，在BC上截取BE=CD，可得BD=CD=DE，根据M为BC中点，得到BM=CM，即BM-BE=MC-CD，得到EM=DM，代入表示出的AB²-AC²，等量代换即可得证．

解答：证明：∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD是直角三角形，
∴AB²=BD²+AD²（1）；AC²=CD²+AD²（2），
∴（1）-（2）得：AB²-AC²=BD²-CD²=（BD+CD）（BD-CD）=BC（BD-CD），
在BC上截取BE=CD，
∴BD-CD=BD-BE=DE，
∵M是BC的中点，
∴BM=MC，
∴BM-BE=MC-CD，即EM=DM，
∵BD-CD=DM=EM+DM=2DM，
∴AB²-AC²=2BC•DM．

点评：此题考查了勾股定理，中线的性质，以及等量代换，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．