Question

【题目】如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=9，BC=6．求PC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：PC与圆O相切，理由为：

过C点作直径CE，连接EB，如图，

∵CE为直径，

∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，

∵AB∥DC，

∴∠ACD=∠BAC，

∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．

∴∠E=∠BCP，

∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，

∴CE⊥PC，

∴PC与圆O相切

（2）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，

∴OA⊥AD，

∵BC∥AD，

∴AM⊥BC，

∴BM=CM= BC=3，

∴AC=AB=9，

在Rt△AMC中，AM= =6 ，

设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r，

在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，即32+（6 ﹣r）2=r2，解得r= ，

∴CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ，

∴BE=2OM= ，

∵∠E=∠MCP，

∴Rt△PCM∽Rt△CEB，

∴ = ，

即 = ，

∴PC= ．

【解析】（1）过C点作直径CE，连接EB，由CE为直径得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根据切线的判断得到结论；（2）根据切线的性质得到OA⊥AD，而BC∥AD，则AM⊥BC，根据垂径定理有BM=CM= BC=3，根据等腰三角形性质有AC=AB=9，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM=6 ； 设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r，在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r= ，则CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ，利用中位线性质得BE=2OM= ，然后判断Rt△PCM∽Rt△CEB，根据相似比可计算出PC．