如图.已知直线l1:y=-x+2与直线l2:y=2x+8相交于点F.l1.l2分别交x轴于点E.G.矩形ABCD顶点C.D分别在直线l1.l2.顶点A.B都在x轴上.且点B与点G重合．(1)求点F的坐标和∠GEF的度数,(2)求矩形ABCD的边DC与BC的长,(3)若矩形ABCD从原地出发.沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移.设移动时间为t秒.矩形ABCD与△GEF重� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知直线l₁：y=-x+2与直线l₂：y=2x+8相交于点F，l₁、l₂分别交x轴于点E、G，矩形AB

CD顶点C、D分别在直线l₁、l₂，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合．
（1）求点F的坐标和∠GEF的度数；
（2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；
（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

分析：（1）由于直线l₁：y=-x+2与直线l₂：y=2x+8相交于点F，因而联立两解析式组成方程组求得解即为F点的坐标．过F点作直线FM垂直X轴交x轴于M，通过坐标值间的关系证得ME=MF=4，从而得到△MEF是等腰直角三角形，∠GEF=45°；
（2）首先求得B（或G）点的坐标、再依次求得点C、D、A的坐标．并进而得到DC与BC的长；
（3）首先将动点A、B用时间t来表示．再就①在运动到t秒，若BC边与l₂相交设交点为N，AD与l₁相交设交点为K；②在运动到t秒，若BC边与l₁相交设交点为N，AD与l₁相交设交点为K；③在运动到t秒，若BC边与l₁相交设交点为N，AD与l₁不相交．三种情况讨论解得s关于t的函数关系式．

解答：

解：（1）由题意得

y=-x+2

y=2x+8

，
解得x=-2，y=4，
∴F点坐标：（-2，4）；
过F点作直线FM垂直X轴交x轴于M，ME=MF=4，△MEF是等腰直角三角形，∠GEF=45°；

（2）∵点G是直线l2与x轴的交点，
∴当y=0时，2x+8=0，解得x=-4，
∴G点的坐标为（-4，0），则C点的横坐标为-4，
∵点C在直线l₁上，
∴点C的坐标为（-4，6），
∵由图可知点D与点C的纵坐标相同，且点D在直线l₂上，
∴点D的坐标为（-1，6），
∵由图可知点A与点D的横坐标相同，且点A在x轴上，

∴点A的坐标为（-1，0），
∴DC=|-1-（-4）|=3，BC=6；

（3）∵点E是l₁与x轴的交点，
∴点E的坐标为（2，0），
S_△GFE=

GE•MF=

(2+4)×4=12，
若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，
当t秒时，移动的距离是1×t=t，则B点的坐标为（-4+t，0），A点的坐标为（-1+t，0）；

①在运动到t秒，若BC边与l₂相交设交点为N，AD与l₁相交设交点为K，那么-4≤-4+t≤-2，即0≤t≤2时．
N点的坐标为（-4+t，2t），K点的坐标为（-1+t，3-t），
s=S_△GFE-S_△GNB-S_△AEK=12-

t•2t-

(3-t)•(3-t)=-

t2-3t+

，
②在运动到t秒，若BC边与l₁相交设交点为N，AD与l₁相交设交点为K，那么-2＜-4+t且-1+t≤3，即2＜t＜4时．
N点的坐标为（-4+t，6-t），K点的坐标为（-1+t，3-t），
s=S_梯形BNKA=

[(6-t)+(3-t)]•3=- 3t+

，
③在运动到t秒，若BC边与l₁相交设交点为N，AD与l₁不相交，那么-4+t≤3且-1+t＞3，即4≤t≤6时．

N点的坐标为（-4+t，6-t），
s=S_△BNE=

[2-(-4+t)]•(6-t)=

t2-6t+18，
答：（1）F点坐标：（-2，4），∠GEF的度数是45°；
（2）矩形ABCD的边DC的长为3，BC的长为6；
（3）s关于t的函数关系式

s=-

t2-3t+

(0≤t≤2)

s=-3t+

(2＜t＜4)

t2-6t+18(4≤t≤6)

．

点评：本题是一次函数与三角形、矩形、梯形相结合的问题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．

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（1）探究∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明你的结论的正确性．
（2）若点P在A、B两点之间运动时（点P和A、B不重合），∠1、∠2、∠3 之间的关系

不会

发生变化（填会或不会）
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，（点P和A、B不重合）
①当点P在射线AM上时，猜想∠1、∠2、∠3之间的关系为

∠2=∠3-∠1

；
②当点P在射线BN上时，猜想∠1、∠2、∠3之间的关系为

∠3=∠1-∠2

（不必证明）．

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（1）如果点P在C、D之间运动时，试说明∠PAC+∠PBD=∠APB；
（2）如果点P在直线l₁的上方运动时，试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？
（3）如果点P在直线l₂的下方运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？

∠PAC=∠PBD+∠APB

（直接写出结论）

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