Question

如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G．连接GF．下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S_△AGD=S_△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确结论的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：本题运用的知识比较多，综合性较强，需一一分析判断．
解答：解：因为在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，
所以∠GAD=45°，∠ADG=∠ADO=22.5°，
所以∠AGD=112.5°，所以①正确．
因为tan∠AED=，因为AE=EF＜BE，
所以AE＜AB，所以tan∠AED=＞2，因此②错．
因为AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，
所以S_△AGD＞S_△OGD，所以③错．
根据题意可得：AE=EF，AG=FG，又因为EF∥AC，
所以∠FEG=∠AGE，又因为∠AEG=∠FEG，
所以∠AEG=∠AGE，所以AE=AG=EF=FG，
所以四边形AEFG是菱形，因此④正确．
由折叠的性质设BF=EF=AE=1，则AB=1+，BD=2+，DF=1+，
由此可求=，
因为EF∥AC，
所以△DOG∽△DFE，
所以==，
∴EF=2OG，
在直角三角形BEF中，∠EBF=45°，
所以△BEF是等腰直角三角形，同理可证△OFG是等腰直角三角形，
在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE²=2EF²=2GF²=2×2OG²，
所以BE=2OG．因此⑤正确．
点评：本题难度较大，考查特殊四边形的性质及三角形的相关知识．