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15.已知关于x的一元二次方程:x2-2(m+1)x+m2+5=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值.

分析 (1)由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围;
(2)根据根与系数的关系即可得出x1+x2=2(m+1)、x1•x2=m2+5,结合m的取值范围即可得出x1>0、x2>0,再由x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2即可得出6m-18=0,解之即可得出m的值.

解答 解:(1)∵方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有两个不相等的实数根,
∴△=[-2(m+1)]2-4(m2+5)=8m-16>0,
解得:m>2.
(2)∵原方程的两个实数根为x1、x2
∴x1+x2=2(m+1),x1•x2=m2+5.
∵m>2,
∴x1+x2=2(m+1)>0,x1•x2=m2+5>0,
∴x1>0、x2>0.
∵x12+x22=$({x}_{1}+{x}_{2})^{2}$-2x1•x2=|x1|+|x2|+2x1•x2
∴4(m+1)2-2(m2+5)=2(m+1)+2(m2+5),即6m-18=0,
解得:m=3.

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)根据方程有两个不相等的实数根找出△=8m-16>0;(2)根据根与系数的关系结合x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2得出6m-18=0.

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