Question

【题目】如图，在菱形中，，，过点作，垂足为，，垂足为．

（1）连接，用等式表示线段与的数量关系，并说明理由；

（2）连接，过点作，垂足为，求的长(用含的代数式表示)；

（3）延长线段到，延长线段到，且，连接，，．

①判断的形状，并说明理由；

②若，求的值．

Answer 1

【答案】（1），见解析；（2）；（3）①是等边三角形，见解析；②

【解析】

（1）连接EF，AC，由菱形的性质，可证，然后得到为等边三角形，由解直角三角形得到，即可得到答案；

（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出AF的长度，然后得到BF的长度，然后由相似三角形的性质，得到，即可求出答案；

（3）①由等边三角形的性质，先证明，然后得到，然后得到，即可得到答案；

②由三角形的面积公式得到，然后得到为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案．

解：（1）；

理由：∵四边形是菱形，，

，

，

∵，垂足为，，垂足为，

，

，

，

为等边三角形，

.

连接，

在中，

，

（2）如图：

∵四边形是菱形，，

是等边三角形，.

，垂足为，

在中，，

在中，，

，垂足为，

，

，

，

（3）如图：

①是等边三角形.

理由：连接.

，

为等边三角形，

，

.

，

，

，

又，

，

.

，

，

为等边三角形；

②为等边三角形，

，

.

，

，

，，

，

为等腰直角三角形，

.

过点作，垂足为.

在中，，

，

在中，，

.

又，

；