Question

如图为一Rt△ABC，∠ACB=90°，则：
（1）到此三角形三边距离相等的点有多少个？
（2）用尺规在此三角形内部作出一个满足上述条件的点．
（3）若三角形三边分别为BC=a，AC=b，AB=c，求出（2）中点到三边的距离．（用a，b，c表示）

Answer 1

分析：（1）应该有4个，易知△ABC的内心符合要求；另外三个分别是△ABC的一个内角与其他两角的外角平分线的交点．
（2）作任意两角的平分线，这两条角平分线的交点即为所求作的点．
（3）可直接利用直角三角形内切圆半径的公式进行求解．

解答：解：（1）有四个，分别是△ABC的一个内心和三个旁心（即三角形一个内角和另外两角的外角平分线的交点）．
（2）分别作∠A、∠B的角平分线，两条射线的交点即为所求作的点，如图（点O即为求作的点）：


（3）由于点O到△ABC三边的距离相等，那么点O为△ABC的内心，点O到三角形三边的距离即为内切圆半径；
由于△ABC是直角三角形，那么它的内切圆半径为：R=

a+b-c

2

．

点评：此题主要考查了角平分线的性质以及直角三角形内切圆半径的求法，难度适中；需要注意的是，（1）题中，三个旁心是容易被忽略的点，因此考虑问题一定要全面．