Question

6．如图，△ABC中，∠A=60°，以BC为边往外作等边△BCD，作∠B，∠C的角平分线分别交AC，AB于点F，E，若BE，CF交于点I，连接ID交BC于点P，求证：△EFP为等边三角形．

Answer 1

分析 先根据角平分线和∠A=60°得：∠IBC+∠ICB=60°，证明I、B、D、C四点共圆，则∠BID=∠BCD=60°，∠DIC=∠DBC=60°，再证明△BEI≌△BPI，则EI=PI，同理可得：PI=FI，根据等边对等角可得：∠EPF=∠PFE=∠FEP=60°，所以△EFP是等边三角形．

解答 证明：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵∠B，∠C的角平分线分别交AC，AB于点F，E，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠BIC=180°-60°=120°，∠EIB=60°，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∴∠BIC+∠BDC=120°+60°=180°，
∴I、B、D、C四点共圆，
∴∠BID=∠BCD=60°，
∠DIC=∠DBC=60°，
在△BEI和△BPI中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EBI=∠IBC}\\{BI=BI}\\{∠EIB=∠BIP=60°}\end{array}\right.$，
∴△BEI≌△BPI（ASA），
∴EI=PI，
同理可得：PI=FI，
∵∠EIF=120°，EI=FI，
∴∠IEF=∠IFE=30°，
同理得：∠IEP=∠IPE=30°，
∠IFP=∠IPF=30°，
∴∠EPF=∠PFE=∠FEP=60°，
∴△EFP是等边三角形．

点评 本题考查了四点共圆的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质和判定，熟练掌握四点共圆的判定是本题的关键，此题有难度．