Question

15．如图△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F．
（1）请说明BD与CE的关系；
（2）若AB=10，$AD=6\sqrt{2}$，当△CEF是直角三角形时，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，根据角的关系可计算∠GBC+∠BCG=90°，从而得BD⊥CE；
（2）根据平行线的判定证明AB∥DE，得AD⊥BC，求BG和DG的长，利用勾股定理得BD的长．

解答 解：（1）BD=CE，且BD⊥CE，理由是：
如图1，延长BD与EC交于点G，
∵△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∴∠GBC+∠BCG=∠ABD-45°+180°-45°-∠ACE=90°，
∴∠G=90°，
∴BG⊥EG，
即BD⊥CE；
综上所述，BD=CE，且BD⊥CE；
（2）如图2，当∠CFE=90°时，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠CFE，
∴AB∥DE，
∴∠BAD=∠ADE=45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∵AB=10，
∴AG=BG=5$\sqrt{2}$，
∴DG=AD-AG=6$\sqrt{2}$-5$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
在Rt△BDG中，由勾股定理得：BD=$\sqrt{B{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定是关键．