Question

3．在四边形ABCD中，AD=BC，DE平分∠ADF，CE平分∠BCF，∠CDE+∠DCE=90°，E，F分别是AB，CD的中点．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）求证：BF⊥CE．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得出∠ADF+∠BCF=180°，得出AD∥BC，再由AD=BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形．
（2）先证明四边形BCFE是平行四边形，再证出EF=CF，得出四边形BCFE是菱形，得出对角线互相垂直即可．

解答 （1）证明：∵DE平分∠ADF，CE平分∠BCF，
∴∠CDE=∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ADF，∠DCE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCF，
∵∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠ADF+∠BCF=180°，
∴AD∥BC，
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴BE=CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∵∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DEC=90°，
∴EF=$\frac{1}{2}$CD=CF，
∴四边形BCFE是菱形，
∴BF⊥CE．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、菱形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．