Question

13．如图，△ABC为直角三角形，∠B=90°，AC边上取一点D，使CD=AB，分别过点C作CE⊥BC，过D作DE⊥AC，CE，DE相交于E．连结AE．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若∠AED=20°，∠ACE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等求出∠BAC=∠DCE，再利用“角边角”证明△ABC和△CDE全等；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠DAE，根据全等三角形对应边相等可得AC=CE，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．

解答 （1）证明：∵∠B=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∵CE⊥BC，
∴∠DCE+∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=90°，
∴∠B=∠CDE，
在△ABC和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DCE}\\{CD=AB}\\{∠B=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDE（ASA）；

（2）解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE=90°-∠AED=90°-20°=70°，
∵△ABC≌△CDE，
∴AC=CE，
∴∠ACE=180°-2∠CAE=180°-70°×2=40°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．