Question

将n个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A₁，A₂，…，A_n分别是正方形的中心，则2014个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为

 

cm²．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的

1

4

，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）阴影部分的和．

解答：解：作A₁E⊥A₂E，A₁F⊥A₂H．
则∠FA₁E=∠HA₁G=90°，
∴∠FA1H=∠GA1E，
在△A₁HF和△A₁GE中，

∠FA1H=∠GA1E A1F=A1E ∠A1FH=∠A1EG

，
∴△A₁HF≌△A₁GE，
∴四边形A₂HA₁G的面积=四边形A1EA2F的面积=

1

4

×4=1，
同理，各个重合部分的面积都是1．
则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为1×（n-1）=n-1（cm²）
∴2014个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：2014-1=2013（cm²）
故答案为：2013．

点评：考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．