Question

6．如图1，直线y=-$\frac{4}{3}$x+8，与x轴、y轴分别交于点A、C，以AC为对角线作矩形OABC，点P、Q分别为射线OC、射线AC上的动点，且有AQ=2CP，连结PQ，设点P的坐标为P（0，t）．
（1）求点B的坐标．
（2）若t=1时，连接BQ，求△ABQ的面积．
（3）如图2，以PQ为直径作⊙I，记⊙I与射线AC的另一个交点为E．
①若$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{3}{5}$，求此时t的值．
②若圆心I在△ABC内部（不包含边上），则此时t的取值范围为8＜t＜$\frac{144}{13}$．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）将x=0代入y=-$\frac{4}{3}$x+8，得y=8，将y=0代入y=-$\frac{4}{3}$x+8，得x=6，于是得到结论；
（2）如图1，作QH⊥AB于H，当t=1时，CP=7，AQ=14，解直角三角形得到QH=AQsin∠BAC=$\frac{42}{5}$，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）Ⅰ、如图2，当P在线段OC上，Q在线段AC上时，解直角三角形得到解得t₁=$\frac{47}{9}$，Ⅱ、当Q与C重合，P在OC上时，如图3，解得t₂=3，Ⅲ、当Q与C重合，P在OC延长线上时，如图4，解得t₃=13，Ⅳ、当P在OC延长线上，Q在AC延长线上时，如图5，同Ⅰ，解得t₄=33；
②当圆心I在边AC上时，如图6，P与C重合，Q与A重合，求得OP=t=8，当圆心I在边BC上时，设⊙I与x轴交于F，连接FQ，根据相似三角形的性质得到t=$\frac{144}{13}$，于是得到结论．

解答 解：（1）将x=0代入y=-$\frac{4}{3}$x+8，得y=8，∴C（0，8），
将y=0代入y=-$\frac{4}{3}$x+8，得x=6，∴A（6，0），
∵四边形OABC是矩形，∴B（6，8）；
（2）如图1，

作QH⊥AB于H，当t=1时，CP=7，AQ=14，
易证AC=10，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，
∴QH=AQsin∠BAC=$\frac{42}{5}$，
∴S_△ABQ=$\frac{168}{5}$；
（3）分类：Ⅰ、如图2，

当P在线段OC上，Q在线段AC上时，即3＜＜8时，
易证$\frac{PE}{PQ}$=sin∠EQP=sin∠ACO=$\frac{3}{5}$，∴∠EQP=∠ACO，∴CP=PQ，
∵PE⊥CQ，∴CE=EQ，∴2×$\frac{4}{5}$（8-t）=10-（16-2t），解得t₁=$\frac{47}{9}$，
Ⅱ、当Q与C重合，P在OC上时，如图3，

可得16-2t=10，解得t₂=3，
Ⅲ、当Q与C重合，P在OC延长线上时，如图4，

可得2t-16=10，解得t₃=13，
Ⅳ、当P在OC延长线上，Q在AC延长线上时，如图5，

同Ⅰ，可得∠Q=∠PCQ，
∴CP=PQ，∴$\frac{1}{2}$（2t-16-10）=$\frac{4}{5}$（t-8），解得t₄=33，
∴t=$\frac{47}{9}$或3或13或33；
②当圆心I在边AC上时，如图6，P与C重合，Q与A重合，
∴OP=t=8，

当圆心I在边BC上时，设⊙I与x轴交于F，连接FQ，
∵PQ是直径，
∴QF⊥x轴，
∴FQ∥OA，CP=CF=t-8，
∴△CQF∽△ACO，
∴$\frac{CF}{OC}$=$\frac{CQ}{CA}$，即$\frac{t-8}{8}$=$\frac{10-2（t-8）}{10}$，
∴t=$\frac{144}{13}$，

∴若圆心I在△ABC内部（不包含边上），则此时t的取值范围为8＜t＜$\frac{144}{13}$，
故答案为：8＜t＜$\frac{144}{13}$．

点评 本题考查了矩形的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．