【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm.点P从B出发,沿BC方向,以1cm/s的速度向点C运动,点Q从A出发,沿AB方向,以2cm/s的速度向点B运动;若两点同时出发,当其中一点到达端点时,两点同时停止运动,设运动时间为t(s)(t>0),△BPQ的面积为S(cm2).
(1)t=2秒时,则点P到AB的距离是 cm,S= cm2;
(2)t为何值时,PQ⊥AB;
(3)t为何值时,△BPQ是以BP为底边的等腰三角形;
(4)求S与t之间的函数关系式,并求S的最大值.
【答案】(1),;(2);(3);(4)S=﹣t2+3t,S的最大值为.
【解析】
(1)作PH⊥AB于H,根据勾股定理求出AB,证明△BHP∽△BCA,根据相似三角形的性质列出比例式,求出PH,根据三角形的面积公式求出S;
(2)根据△BQP∽△BCA,得到=,代入计算求出t即可;
(3)过Q作QG⊥BC于G,证明△QBG∽△ABC,根据相似三角形的性质列式计算,得到答案;
(4)根据△QBG∽△ABC,用t表示出QG,根据三角形的面积公式列出二次函数关系式,根据二次函数的性质计算即可.
解:在Rt△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,
由勾股定理得,AB===10cm,
∴0<t≤5,经过ts时,BP=t,AQ=2t,则BQ=10﹣2t,
(1)如图1,作PH⊥AB于H,
当t=2时,BP=2,BQ=10﹣2t=6,
∵∠BHP=∠BCA=90°,∠B=∠B,
∴△BHP∽△BCA,
∴=,即=,
解得:PH=,
∴S=×6×=,
故答案为:;;
(2)当PQ⊥AB时,∠BQP=∠BCA=90°,∠B=∠B,
∴△BQP∽△BCA,
∴=,即=,
解得,t=,
则当t=时,PQ⊥AB;
(3)如图2,过Q作QG⊥BC于G,
∵QB=QP,QG⊥BC,
∴BG=GP=t,
∵∠BGQ=∠C=90°,∠B=∠B,
∴△QBG∽△ABC,
∴=,即=,
解得,t=,
∴当t=时,△BPQ是以BP为底边的等腰三角形;
(4)由(3)可知,△QBG∽△ABC,
∴=,即=,
解得,QG=﹣t+6,
∴S=×t×(﹣t+6),
=﹣t2+3t,
=﹣(t﹣)2+,
则当t=时,S的值最大,最大值为.
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【题目】如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于A(-1,0),B(5,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直x轴于点D,链接AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值;
(3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】近日,某中学举办了一次以“弘扬传统文化”为主题的汉字听写比赛,初一和初二两个年级各有600名学生参加,为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况,学校分别从两个年级随机抽取了若干名学生的成绩作为样本进行分析,下面是初二年级学生成绩样本的频数分布表和频数分布直方图(不完整,每组分数段中的分数包括最低分,不包括最高分)
初二学生样本成绩频数分布表 | ||
分组/分 | 频数 | 频率 |
50~60 | 2 | |
60~70 | 4 | 0.10 |
70~80 | 0.20 | |
80~90 | 14 | 0.35 |
90~100 | ||
合计 | 40 | 1.00 |
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)补全成绩频数分布表和频数分布直方图.
(2)若初二学生成绩样本中80~90分段的具体成绩为:
80 80 81.5 82 82.5 82.5 83 84.5 85 86.5 87 88 88.5 89
①根据上述信息,估计初二学生成绩的中位数为__________.
②若初一学生样本成绩的中位数为80,甲同学在比赛中得到了82分,在他所在的年级中位居275名,根据上述信息推断甲同学所在年级为__________(选填“初一”或者“初二”).
③若成绩在85分及以上均为“优秀”,请你根据抽取的样本数据,估计初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为__________人.
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【题目】某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
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【题目】已知关于x的一元二次方程:2x2+6x﹣a=0.
(1)当a=5时,解方程;
(2)若2x2+6x﹣a=0的一个解是x=1,求a;
(3)若2x2+6x﹣a=0无实数解,试确定a的取值范围.
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【题目】(感知)如图①,点C是AB中点,CD⊥AB,P是CD上任意一点,由三角形全等的判定方法“SAS”易证△PAC≌△PBC,得到线段垂直平分线的一条性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”
(探究)如图②,在平面直角坐标系中,直线y=-x+1分别交x轴、y轴于点A和点B,点C是AB中点,CD⊥AB交OA于点D,连结BD,求BD的长
(应用)如图③
(1)将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′,请在图③网格中画出线段AB;
(2)若存在一点P,使得PA=PB′,且∠APB′≠90°,当点P的横、纵坐标均为整数时,则AP长度的最小值为______.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别为AB、BC的中点,点H是AD边上一点,将△DCF沿DF折叠得△DC′F,将△AEH沿EH折叠后点A的对应点A′刚好落在DC′上,则cos∠DA′H=______.
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【题目】如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD的两侧,且AE=DF,∠A=∠D,AB=DC.
(1)求证:△AEC≌△DFB;
(2)若∠EBD=60°,BE=BC,求证:四边形BFCE是菱形.
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【题目】如图,若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯,路灯的灯臂BC长2米,且与灯柱AB成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直,当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好,此时,路灯的灯柱AB高应该设计为多少米(结果保留根号)?
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