Question

已知，点Q是正方形ABCD内的一点，连QA、QB、QC．
（I）将△QAB绕点B顺针旋转90°到△Q'CB的位置（如图①所示）．若QA=1，QB=2，∠AQB=135°，求QC的长．
（II）如图②，若QA²+QC²=2QB²，请说明点Q必在对角线AC上．

Answer 1

解：（I）解：△BQ'C由△BQA旋转得到，
∴Q'C=QA=1，BQ'=BQ=2，∠BQ'C=∠BQA=135°，∠Q'BC=∠ABQ，
∴∠QBQ'=∠ABC=90°
连接QQ'，则∠QQ'B=∠Q'QB=45°
∴．∠QQ'C=135°-45°=90°
在Rt△QQ'C中，

（II）证明：过Q点作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N
设正方形的边长为a，QM=x，QN=y，
则AM=a-y，CN=a-x
在Rt△QMA中，QA²=QM²+AM²=x²+（a-y）²
在Rt△QNC中，QC²=QN²+CN²=y²+（a-x）²
在Rt△QMB中，QB²=QM²+BM²=x²+y²
∵QA²+QC²=2QB²
∴x²+（a-y）²+y²+（a-x）²=2（x²+y²）
得a=x+y
∴AM=QM∴∠MAQ=45°
∴Q点在对角线AC上
分析：（I）△BQ'C由△BQA旋转得到，△QQ'C是直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（II）过Q点作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N，证明∠MAQ=45°即可．
点评：本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，正确证得：△QQ'C是直角三角形，以及把证Q点在对角线AC上转化为证明求角度的大小问题，是解题关键．