Question

如图，已知锐角△ABC的边BC的长为6，面积为12，PQ∥BC，点P在AB上，点Q在AC上，四边形RPQS为正方形（RS与A在PQ的异侧），其边长为x，正方形RPQS与△ABC的公共面积为y．
（1）当正方形RPQS的边RS恰好落在BC上时，求边长x．
 
（2）当RS不落在BC上时，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．（可以将图形画在备用的图形中）

（3）求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）当RS落在BC上时，先求△ABC的BC边上的高，由△APQ∽△ABC，利用对应高的比等于相似比即可求出x；
（2）分为当RS落在△ABC的外部和内部两种情况，当RS在△ABC的外部时，由相似得公共部分的长、宽表示面积，当RS在△ABC的内部时，正方形面积即为公共部分面积；
（3）根据（1）（2）所求函数关系式，结合自变量取值范围分别求最大值，比较得出结论．

解答：解：（1）设△ABC的高为h，
∵△ABC的边BC的长为6，面积为12，
∴

1

2

×h×BC=12，
∴h=4，
则△APQ的高=h-x=4-x，
∵PQ∥BC，四边形RPQS为正方形（RS与A在PQ的异侧），
∴△APQ∽△ABC，
∴

4-x

4

=

x

BC

，即

4-x

4

=

x

6

，
解得x=2.4．
答；当正方形RPQS的边RS恰好落在BC上时，边长x为2.4；

（2）中RS不落在BC上意味着RS可以落在三角形的内部或外部两种情形．
①当RS落在三角形内时，如图（1），
y=x²(0＜x≤

12

5

)
当RS落在三角形外时，如图（2），
过A作AE⊥BC于E交PQ于D，
同上　设PQ=x，则

AD

AE

=

PQ

BC

，

AD

4

=

x

6

，
∴AD=

2

3

x，
∴DE=4-

2

3

x，
∴y=-

2

3

x2+4x(

12

5

＜x≤6)；

（3）①当RS落在△ABC外部时，
y=-

2

3

x2+4x=-

2

3

(x2-6x)=-

2

3

(x-3)2+6，
∴当x=3时，y有最大值是6；
②当RS落在BC边上时，由x=

12

5

可知，y=

144

25

，
③当RS落在△ABC内部时，y=x²（0＜x＜

12

5

）
故比较以上三种情况可知，公共部分面积最大为6．

点评：本题考查了二次函数在求长方形面积中的应用，解答此题的关键是根据题意表示长方形的面积，再根据自变量的取值范围及二次函数的最值求法求解，本题还考查了分类讨论的教学思想．总之，这是一道非常典型的题目．