Question

在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下面结论中正确的有

①②③④

 
①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③DB=DC；④图中共有3对全等三角形．

Answer 1

分析：①由AD是△ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据余角的性质，即可证得DA平分∠EDF；
②由在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，即可得AE=AF，DE=DF；
③由等腰三角形的性质，即可证得DB=DC；
④由全等三角形的判定方法，即可证得图中共有3对全等三角形．

解答：解：①∵在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠ADE=90°-∠BAD，∠ADF=90°-∠CAD，
∴∠ADE=∠ADF，
∴DA平分∠EDF．正确；
②∵AD是△ABC的平分线，DA平分∠EDF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AE=AF，DE=DF．故正确；
③∵在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的平分线，
∴DB=DC．正确；
④在△ABD和△ACD中，

AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD

，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
在△ADE和△ADF中，

AE=AF ∠BAD=∠CAD AD=AD

，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
在Rt△BED和Rt△CDF中，

DB=DC DE=DF

，
∴Rt△BED≌Rt△CDF（HL）；
∴图中共有3对全等三角形，正确．
故答案为：①②③④．

点评：此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．