Question

14．如图，正方形ABCD中，G是对角线BD上的一个动点，连结AG，过G作GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足．
（1）求证：GE+GF=AB；
（2）写出GE、GF、AG三条线段满足的等量关系，并求当AB=5，AG=$\sqrt{13}$时，BG的长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出△DGE和△BGF是等腰直角三角形，得出GE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DG，GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BG，即可得出结论；
（2）连接CG，由SAS证明△ABG≌△CBG，得出AG=CG，证出四边形EGFC是矩形，得出CE=GF，由勾股定理即可得出GE²+GF²=AG²；设GE=x，则GF=5-x，由勾股定理得出方程求出GE=2或GE=3，再分情况讨论，由勾股定理求出BG即可．

解答 （1）证明：连接CG，如图所示：，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，∠ABD=∠CDB=∠CBD=45°，AB=BC=CD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴△DGE和△BGF是等腰直角三角形，
∴GE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DG，GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BG，
∴GE+GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（DG+BG）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∴GE+GF=AB；
（2）解：GE²+GF²=AG²，理由如下：
连接CG，如图所示：
在△ABG和△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABG=∠CBG}&{\;}\\{BG=BG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD=90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CE=GF，
∴GE²+CE²=CG²，
∴GE²+GF²=AG²；
设GE=x，则GF=5-x，
由勾股定理得：x²+（5-x）²=（$\sqrt{13}$）²，
解得：x=2或x=3，
∴GE=2或GE=3，
当FC=GE=2时，GF=3，BF=BC-CF=3，
∴BG=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$；
当FC=GE=3时，GF=2，BF=BC-CF=2，
∴BG=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
综上所述：BG的长为3$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．