在一个边长为6cm的正方形ABCD中.点E.M分别是线段AC.CD上的动点.连结DE并延长交正方形的边于点F.过点M作MN⊥DF于H.交AD于N．(1)如图1.当点M与点C重合.求证:DF=MN,(2)如图2.假设点M从点C出发.以1cm/s的速度沿CD向点D运动.点E同时从点A出发.以2cm/s速度沿AC向点C运动.运动时间为t,①当点F是边AB中点时.求CM的长度．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在一个边长为6cm的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以

cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
①当点F是边AB中点时，求CM的长度．
②在点E，M的运动过程中，除正方形的边长外，图中是否还存在始终相等的线段？若存在，请找出来，并加以证明；若不存在，请说明理由．

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）由正方形及垂直的性质就可以得出∠ADF=∠DCN，就可以得出△ADF≌△DCN就可以得出结论；
（2）①根据正方形的性质可以得出△AFE∽△CDE，由相似三角形的性质就可以得出t的值就可以求出CM的值；
②关键正方形的性质证明△AFE∽△CDE就可以表示出AF，再由△MND∽△DFA就可以得出ND=t，进而求出结论．

解答：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=AB=BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．
∴AC=6

．
∵MN⊥DF，
∴∠DHN=∠DHC=90°
∴∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN．
在△ADF与△DNC中，

∠DAF=∠CDN

AD=CD

∠ADF=∠DCN

，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=MN．

（2）解：①∵点F是边AB中点时，
∴AF=

AB=3，
∴

．
∵AB∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
∴

．
∴AE=

EC，
∴AE=

AC=

×6

，
∴

t=2

，
∴t=2，
∴CM=t=2．
②CM=DN．
理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD=DC=AB=BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．
∴△AFE∽△CDE，
∴

．
∴

，
∴AF=

6-t

．
∵∠ADF=∠DMN，∠DAF=∠NDM，
∴△MND∽△DFA，
∴

，
∴

6-t

，
解得：ND=t．
∵CM=t
∴ND=CM．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用．解答时运用相似三角形的性质求解是关键．

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）；
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）；
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）．

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