Question

2．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁；…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积为（　　）

• A． 5×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁶
• B． 5×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁶
• C． 5×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁵
• D． 5×（$\frac{3}{2}$）⁴⁰³²

Answer 1

分析 先求出正方形ABCD的边长和面积，再求出第一个正方形A₁B₁C₁C的面积，得出规律，根据规律即可求出第2016个正方形的面积．

解答 解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA=1，OD=2，
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，S_{正方形ABCD}=$（\sqrt{5}）^{2}$=5，
∴∠ABA₁=90°，∠OAD+∠BAA₁=90°，
∴∠ODA=∠BAA₁，
∴△ABA₁∽△DOA，
∴$\frac{B{A}_{1}}{OA}=\frac{AB}{OD}$，即$\frac{B{A}_{1}}{1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BA₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴CA₁=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴正方形A₁B₁C₁C的面积=$（\frac{3\sqrt{5}}{2}）^{2}$=5×$\frac{9}{4}$，…，第n个正方形的面积为5×$（\frac{9}{4}）^{n-1}$，
∴第2016个正方形的面积为5×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁵．
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质以及坐标与图形性质；通过求出正方形ABCD和正方形A₁B₁C₁C的面积得出规律是解决问题的关键．