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13、设AB是⊙O中一条小于直径的弦,将△OAB绕圆心O顺时针旋转一个角α(0°<α<360°),得△OA′B′.问在旋转过程中,动弦A′B′能否通过AB上的每一个点?证明你的结论.
分析:根据题意画出图形,运用旋转得到△OA′B′,过点O作OC⊥AB于C,然后证明A′B′经过AB上除点C外的每一个点.
解答:解:设AB的中点为C,A′B′能经过除C点外的AB上的任一个点.
如图:
以O为圆心,OC为半径作小圆O,任取弦AB上异于C点的一点P,
则P在小圆O外,过P引小圆的两条切线,其中一条为弦AB,另一条为A′B′,它们的弦心距OC=OC′,
所以AB=A′B′,将△OAB绕O旋转α=∠COC′到△OA′B′,则A′B′就可以经过AB上异于C的点P.
若A′B′经过点C,由AB与A′B′不重合,则A′B′是小圆的割线,
由A′B′的弦心距OC′<OC,得到A′B′>AB,这是不可能的.
因此,在旋转过程中,弦A′B′经过AB上除点C的每一点.
点评:本题考查的是圆与圆的位置关系,△OAB在旋转的过程中,根据弦心距可以得到同心圆,然后确定A′B′不经过点C.
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27、小明学习了垂径定理,做了下面的探究,请根据题目要求帮小明完成探究.
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在⊙0中,C是劣弧AB的中点,直线CD⊥AB于点E,则AE=BE.请证明此结论;
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB组成⊙0的一条折弦.C是劣弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F,再连接AD证明结论成立.请写出证明过程;
(3)如图3,PA.PB组成⊙0的一条折弦,若C是优弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE,PE与PB之间存在怎样的数量关系?写出结论,不必证明.

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(如图1),点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP,如果
AP
BP
=
BP
AB
,那么称点P为线段AB的黄金分割点,设
AP
BP
=
BP
AB
=k,则k就是黄金比,并且k≈0.618.
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(1)以图1中的AP为底,BP为腰得到等腰△APB(如图2),等腰△APB即为黄金三角形,黄金三角形的定义为:满足
=
底+腰
≈0.618的等腰三角形是黄金三角形;类似地,请你给出黄金矩形的定义:
 

(2)如图1,设AB=1,请你说明为什么k约为0.618;
(3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分(设S1<S2),如果
S1
S2
=
S2
S
,那么称直线l为该图形的黄金分割线.(如图3),点P是线段AB的黄金分割点,那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗?请说明理由;
(4)图3中的△ABC的黄金分割线有几条?

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△ABC是一块等边三角形的废铁片,利用其剪裁一个正方形DEFG,使正方形的一条边DE落在BC上,顶点F、G分别落在AC、AB上.
Ⅰ、证明:△BDG≌△CEF;
Ⅱ、探究:怎样在铁片上准确地画出正方形.
小聪和小明各给出了一种想法,请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答.如果两题都解,只以Ⅱa的解答记分.
Ⅱa、小聪想:要画出正方形DEFG,只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长,从而确定D点和E点,再画正方形DEFG就容易了.
设△ABC的边长为2,请你帮小聪求出正方形的边长.(结果用含根号的式子表示,不要求分母有理化)
Ⅱb、小明想:不求正方形的边长也能画出正方形.具体作法是:
①在AB边上任取一点G′,如图作正方形G′D′E′F′;
②连接BF′并延长交AC于F;
③作FE∥F′E′交BC于E,FG∥F′G′交AB于G,GD∥G′D′交BC于D,则四精英家教网边形DEFG即为所求.
你认为小明的作法正确吗?说明理由.

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(2011•新华区一模)我们知道:根据二次函数的图象,可以直接确定二次函数的最大(小)值;根据“两点之间,线段最短”,并运用轴对称的性质,可以在一条直线上找到一点,使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短.
这种数形结合的思想方法,非常有利于解决一些数学和实际问题中的最大(小)值问题.请你尝试解决一下问题:
(1)在图1中,抛物线所对应的二次函数的最大值是
4
4

(2)在图2中,相距3km的A、B两镇位于河岸(近似看做直线l)的同侧,且到河岸的距离AC=1千米,BD=2千米,现要在岸边建一座水塔,分别直接给两镇送水,为使所用水管的长度最短,请你:
①作图确定水塔的位置;
②求出所需水管的长度(结果用准确值表示)
(3)已知x+y=6,求
x2+9
+
y2+25
的最小值;
此问题可以通过数形结合的方法加以解决,具体步骤如下:
①如图3中,作线段AB=6,分别过点A、B,作CA⊥AB,DB⊥AB,使得CA=
3
3
,DB=
5
5

②在AB上取一点P,可设AP=
x
x
,BP=
y
y

x2+9
+
y2+25
的最小值即为线段
PC
PC
和线段
PD
PD
长度之和的最小值,最小值为
10
10

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(2012•南京)下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改.
 题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室内,沿前侧内墙保留3m的空地,其他三侧内墙各保留1m的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2
解:设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm
根据题意,得x•2x=288.
解这个方程,得x1=-12(不合题意,舍去),x2=12
所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)
答:当温室的长为28m,宽为14m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2.我的结果也正确!
小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个?.

结果为何正确呢?
(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:
变化一下会怎样…
(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:AB=2:1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.

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