Question

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．

（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；

（2）设MN与AB之间的距离为米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数； 

（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．  

Answer 1

解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.

所以，S△EMN= =0.5（平方米）.

即△EMN的面积为0.5平方米.

（2）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，

即0＜x≤1时， 

△EMN的面积S= = ；

②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，

即1＜x＜ 时，

如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，

∵ E为AB中点，

∴ F为CD中点，GF⊥CD,且FG＝ .

又∵ MN∥CD，

∴ △MNG∽△DCG．

∴  ，即 ．

故△EMN的面积S＝

＝ ；

综合可得： 

  

（3）①当MN在矩形区域滑动时， ，所以有

②当MN在三角形区域滑动时，S= .

因而，当 （米）时,S得到最大值，

最大值S= = = （平方米）.

∵  ，

∴ S有最大值，最大值为 平方米.