Question

如图，以Rt△ABC的一直角边AB为直径作圆，交斜边BC于P点，Q为AC的中点．
（1）求证：PQ与⊙O相切；
（2）若PQ=2cm，BP=6cm，求圆的半径．

Answer 1

分析：（1）要证PQ是⊙O的切线，只要连接OP，AP，再证PQ⊥OP即可．
（2）先证明△ACP∽△BCA，根据相似三角形及切线的性质求出AC，BC的长，再根据勾股定理求得圆的直径，进一步得到半径．

解答：解：（1）连接OP，AP．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°．
∴∠APC=90°．
∵Q为AC的中点
∴PQ=AQ=QC．（1分）
∴∠PAQ=∠APQ
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA
∴∠PAQ+∠OAP=∠APQ+∠OPA
即∠OAQ=∠OPQ
∵∠BAC=90°，
∴∠OPQ=90°，
∴PQ⊥OP
∴PQ与⊙O相切．（2分）

（2）∵PQ=2
∴AC=4．
∵∠BAC=90°，AP⊥BC于P，
∴△ACP∽△BCA．（3分）
∴

AC

BC

=

PC

AC

∴AC²=PC•BC
∵BP=6，
∴16=PC（6+PC）
∴PC=2（负值舍去）（4分）
∴BC=8，
∴AB=

82-42

=4

3

，
∴所求圆的半径为2

3

cm．（5分）

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形及切线的性质，勾股定理的应用．