Question

设m，n是给定的整数，4＜m＜n，A₁A₂…A_2n+1是一个正2n+1边形，P={A₁，A₂，…，A_2n+1}．求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数．

Answer 1

先证一个引理：顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．
事实上，设这个凸m边形为P₁P₂P_m，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设∠PmP1P2＜

π

2

，则∠P2PjPm=π-∠P2P1Pm＞

π

2

(3≤j≤m-1)，
更有∠Pj-1PjPj+1＞

π

2

(3≤j≤m-1)．
而∠P₁P₂P₃+∠P_m-1P_mP₁＞π，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理．
由引理知，若凸m边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻．
在凸m边形中，设顶点A_i与A_j为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．
设A_i与A_j的劣弧上包含了P的r条边（1≤r≤n），这样的（i，j）在r固定时恰有2n+1对．
（1）若凸m边形的其余m-2个顶点全在劣弧A_iA_j上，而A_iA_j劣弧上有r-1个P中的点，此时这m-2个顶点的取法数为C_r-1^m-2．
（2）若凸m边形的其余m-2个顶点全在优弧A_iA_j上，取A_i，A_j的对径点B_i，B_j，由于凸m边形在顶点A_i，A_j处的内角为锐角，
所以，其余的m-2个顶点全在劣弧B_iB_j上，而劣弧B_iB_j上恰有r个P中的点，此时这m-2个顶点的取法数为C_r^m-2．
所以，满足题设的凸m边形的个数为

(2n+1) n r=1 ( C m-2r-1 + C m-2r )=(2n+1)( n r=1 C m-2r-1 + n r=1 C m-2r ) =(2n+1)( n r=1 ( C m-1r - C m-1r-1 )+ n r=1 ( C m-1r+1 - C m-1r ))

=（2n+1）（C_n+1^m-1+C_n^m-1）．
故顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数为：（2n+1）（C_n+1^m-1+C_n^m-1）．