Question

某村为增加村民收入，一年中修建了一些蔬菜大棚，平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为2.7万元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9，每公顷大棚蔬菜的年平均收入为7.5万元，设这个村一年中修建了x公顷蔬菜大棚，这些大棚蔬菜的收益（收益=收入-修建费用）为y万元．
（1）用含x的代数式表示购置喷泉设备的费用；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）要想使大棚蔬菜的年收益最大，这个村一年中应修建多少公顷的蔬菜大棚；
（4）若这个村一年中大棚蔬菜的收益为6万元，应修建多少公顷蔬菜大棚；利用（2）中函数关系式的草图（画在草稿纸上），观察图象：请你为“这个村一年中大棚蔬菜的收益不低于6万元”提出合理的修建收益．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）购置滴灌设备，其费用p（万元）与大棚面积x（公顷）的函数关系为正比例关系；
（2）修建费用=每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为2.7万元+喷灌设备；
（3）利用（2）中的函数关系式，由“配方法”求得该二次函数的最值；
（4）把y=6代入（2）中的函数关系式求得相应的x的值；令w≥6，解得x的取值范围．

解答：解：（1）设购置滴灌设备的费用为p（万元），则其费用p（万元）与大棚面积x（公顷）的函数关系式为p=0.9x²；

（2）y与x的函数关系式为：y=7.5x-（2.7x+0.9x²）=-0.9x²+4.8x，即y=-0.9x²+4.8x；

（3）由（2）知 y=-0.9x²+4.8x=-0.9（x-

8

3

）²+6.4．
所以，当x=

8

3

时，y_最大=6.4．
答：要想使大棚蔬菜的年收益最大，这个村一年中应修建

8

3

公顷的蔬菜大棚；

（4）由（2）知，y=-0.9x²+4.8x，
把y=6代入，得
6=-0.9x²+4.8x，
解得，x₁=

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3

，x₂=2．
由抛物线的解析式得到该抛物线的顶点为：（

8

3

，6.4），与坐标轴的交点为（0，0），（0，

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3

），其草图如图所示：
．
根据图示知，修建大棚数量在2公顷到

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3

公顷范围内，该年年收益不低于6万元．

点评：本题主要考查二次函数的应用，根据题意直接列出二次函数解析式，然后求最大值，应用二次函数解决实际问题比较简单．