Question

14．已知抛物线y=-x²+2x+c与x轴交于A、B两点，其中点A（-1，0）．抛物线与y轴交于点C，顶点为D，点N在抛物线上，其横坐标为$\frac{5}{2}$．
（1）如图1，连接BD，求直线BD的解析式；
（2）如图2，连接BC，把△OBC沿x轴正方向平移，记平移后的三角形为△O′B′C′，当点C′落在△BCD内部时，线段B′C′与线段DB交于点M，设△O′B′C′与△BCD重叠面积为T，若T=$\frac{1}{3}$S_△OBC时，求线段BM的长度；
（3）如图3，连接CN，点P为直线CN上的动点，点Q在抛物线上，连接CQ、PQ得△CPQ，当△CPQ为等腰直角三角形时，求线段CP的长度．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求直线和抛物线解析式；
（2）根据BC∥B′C′和平移，得到直线B′C′解析式为y=-（x-m）+3=-x+3+m，再联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y=-x+3+m}\end{array}\right.$，求得交点坐标，从而确定出T，而T=$\frac{1}{3}$S_△OBC，求得BM；
（3）先求出直线CN的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，分三种情况，再由点Q既在抛物线y=-x²+2x+3上，又在直线CN为y=-$\frac{1}{2}$x+3上，确定出m即可．

解答 解：（1）将点A（-1，0）代入抛物线y=-x²+2x+c中得：
0=-1-2+c，解得：c=3，
∴抛物线y=-x²+2x+3=-（x-3）（x+1）=-（x-1）²+4，
∴点B坐标为（3，0），点D坐标为（1，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{4=k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直线BD的解析式为y=-2x+6．
（2）∵B（3，0），C（0，3），
直线BC解析式为y=-x+3，
∵BC∥B′C′，
k_B′C′=-1，
设平移距离为m，
∴0＜m＜$\frac{3}{2}$，
∴直线B′C′解析式为y=-（x-m）+3=-x+3+m，
∴O′（m，0）
∴O′C′与BC的交点E（m，3-m），
∴EO′=BO′=3-m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y=-x+3+m}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3-m}\\{y=2m}\end{array}\right.$，
∴T=S_{△B′O′C′}-S_△BB′N-S_△BO′E
=$\frac{9}{2}$-m×2m×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（3-m）²
=-$\frac{3}{2}$m²+3m，
∵T=$\frac{1}{3}$S_△OBC，
∴-$\frac{3}{2}$m²+3=$\frac{1}{3}$×$\frac{9}{2}$，
∴m=1，
∴M（2，2），
∴BM=$\sqrt{5}$，
（3）如图，

当x=$\frac{5}{2}$时，y=$\frac{7}{4}$，
∴N（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），
∵C（0，3），
∴直线CN解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3
①∠PCQ=90°，
∴CQ⊥CN，
∴直线CQ解析式为y=2x+3，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴CQ与抛物线仅一个交点，不满足题意；
②当∠CPQ=90°时，
∵CP=PQ，∠CFP=∠PEQ=90°，∠CPF=∠PQE，
∴△CFP≌△PEQ，
∴CF=PE，PF=QE，
设P（m，-$\frac{1}{2}$m+3），
∴PE=CF=$\frac{1}{2}$m，QE=PF=m，
Ⅰ、∴Q点的横坐标为PE+PF=$\frac{3}{2}$m，纵坐标为-$\frac{1}{2}$m+3+m=$\frac{1}{2}$m+3
∴Q（$\frac{3m}{2}$，3），
∴$\frac{1}{2}$m+3=-（$\frac{3m}{2}$）²+2×$\frac{3m}{2}$+3，
∴m=0（舍）或m=$\frac{10}{9}$，
∴P（$\frac{10}{9}$，$\frac{22}{9}$）
∵C（0，3），
∴CP=$\frac{5\sqrt{5}}{9}$
Ⅱ、点Q在第四象限内，同Ⅰ的方法得出Q（$\frac{1}{2}$m，-$\frac{3}{2}$m+3），
∴-$\frac{3}{2}$m+3=-（$\frac{1}{2}$m）²+2×$\frac{1}{2}$m+3，
∴m=0（舍）或m=10，
∴P（10，-2），
∴CP=5$\sqrt{5}$，
③当∠CQP=90°，CQ=QP时，方法同上，
CP=$\frac{10\sqrt{5}}{9}$或CP=10$\sqrt{5}$；
即：CP的长度为$\frac{5\sqrt{5}}{9}$、$5\sqrt{5}$、$\frac{{10\sqrt{5}}}{9}$、$10\sqrt{5}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，求直线和抛物线的交点坐标，解本题的关键是求直线和抛物线的交点坐标，也是本题的难点．