Question

已知x₁，x₂是一元二次方程（k+1）x²+2kx+k-3=0的两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）在（1）条件下，当k为最小整数时一元二次方程x²-x+k=0与x²+mx-m²=0只有一个相同的根，求m值．

Answer 1

分析：（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b²-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
（2）确定出k的最小整数值，即可求得k的值，则方程x²-x+k=0即为已知，即可求得方程的根，方程的根是方程x²+mx-m²=0的根，代入即可求出m的值．

解答：解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（2k）²-4（k+1）（k-3）＞0
解得k＞-

3

2

∵方程是一元二次方程
∴k+1≠0，
∴k≠-1．
∴实数k的取值范围为：k＞-

3

2

且k≠-1．
（2）由（1）可得：k取最小整数时k=0．
∴x²-x+0=0，
解得x₁=0，x₂=1．
①把x=0代入x²+mx-m=0，m=0．
②把x=1代入x²+mx-m=0得，
m²-m-1=0，
解得m=

1± 5

2

．

点评：本题对方程x²+mx-m²=0，分类讨论，它与方程x²-x=0只有一个相同解，x可能为0，也可能为1．