Question

20£®Èçͼ£¬ÒÑÖªÅ×ÎïÏßy=$\frac{1}{3}$x²+bx+c¾­¹ý¡÷ABCµÄÈý¸ö¶¥µã£¬ÆäÖеãA£¨0£¬1£©£¬µãB£¨-9£¬10£©£¬AC¡ÎxÖᣬµãPÊÇÖ±ÏßACÏ·½Å×ÎïÏßÉϵĶ¯µã£®
£¨1£©ÇóÅ×ÎïÏߵĽâÎöʽ£»
£¨2£©¹ýµãPÇÒÓëyÖáƽÐеÄÖ±ÏßlÓëÖ±ÏßAB¡¢AC·Ö±ð½»ÓÚµãE¡¢F£¬µ±ËıßÐÎAECPµÄÃæ»ý×î´óʱ£¬ÇóµãPµÄ×ø±ê£»
£¨3£©µ±µãPΪÅ×ÎïÏߵĶ¥µãʱ£¬ÔÚÖ±ÏßACÉÏÊÇ·ñ´æÔÚµãQ£¬Ê¹µÃÒÔC¡¢P¡¢QΪ¶¥µãµÄÈý½ÇÐÎÓë¡÷ABCÏàËÆ£¬Èô´æÔÚ£¬Çó³öµãQµÄ×ø±ê£¬Èô²»´æÔÚ£¬Çë˵Ã÷ÀíÓÉ£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©Óôý¶¨ÏµÊý·¨Çó³öÅ×ÎïÏß½âÎöʽ¼´¿É£»
£¨2£©ÉèµãP£¨m£¬$\frac{1}{3}$m²+2m+1£©£¬±íʾ³öPE=-$\frac{1}{3}$m²-3m£¬ÔÙÓÃS_{ËıßÐÎAECP}=S_¡÷AEC+S_¡÷APC=$\frac{1}{2}$AC¡ÁPE£¬½¨Á¢º¯Êý¹Øϵʽ£¬Çó³ö¼«Öµ¼´¿É£»
£¨3£©ÏÈÅжϳöPF=CF£¬Ôٵõ½¡ÏPCA=¡ÏEAC£¬ÒÔC¡¢P¡¢QΪ¶¥µãµÄÈý½ÇÐÎÓë¡÷ABCÏàËÆ£¬·ÖÁ½ÖÖÇé¿ö¼ÆËã¼´¿É£®

½â´ð ½â£º£¨1£©¡ßµãA£¨0£¬1£©£®B£¨-9£¬10£©ÔÚÅ×ÎïÏßÉÏ£¬
¡à$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{3}¡Á81-9b+c=10}\end{array}\right.$£¬
¡à$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=1}\end{array}\right.$£¬
¡àÅ×ÎïÏߵĽâÎöʽΪy=$\frac{1}{3}$x²+2x+1£¬

£¨2£©¡ßAC¡ÎxÖᣬA£¨0£¬1£©
¡à$\frac{1}{3}$x²+2x+1=1£¬
¡àx₁=-6£¬x₂=0£¬
¡àµãCµÄ×ø±ê£¨-6£¬1£©£¬
¡ßµãA£¨0£¬1£©£®B£¨-9£¬10£©£¬
¡àÖ±ÏßABµÄ½âÎöʽΪy=-x+1£¬
ÉèµãP£¨m£¬$\frac{1}{3}$m²+2m+1£©
¡àE£¨m£¬-m+1£©
¡àPE=-m+1-£¨$\frac{1}{3}$m²+2m+1£©=-$\frac{1}{3}$m²-3m£¬
¡ßAC¡ÍEP£¬AC=6£¬
¡àS_{ËıßÐÎAECP}
=S_¡÷AEC+S_¡÷APC
=$\frac{1}{2}$AC¡ÁEF+$\frac{1}{2}$AC¡ÁPF
=$\frac{1}{2}$AC¡Á£¨EF+PF£©
=$\frac{1}{2}$AC¡ÁPE
=$\frac{1}{2}$¡Á6¡Á£¨-$\frac{1}{3}$m²-3m£©
=-m²-9m
=-£¨m+$\frac{9}{2}$£©²+$\frac{81}{4}$£¬
¡ß-6£¼m£¼0
¡àµ±m=-$\frac{9}{2}$ʱ£¬ËıßÐÎAECPµÄÃæ»ýµÄ×î´óÖµÊÇ$\frac{81}{4}$£¬
´ËʱµãP£¨-$\frac{9}{2}$£¬-$\frac{5}{4}$£©£»

£¨3£©¡ßy=$\frac{1}{3}$x²+2x+1=$\frac{1}{3}$£¨x+3£©²-2£¬
¡àP£¨-3£¬-2£©£¬
¡àPF=y_F-y_P=3£¬CF=x_F-x_C=3£¬
¡àPF=CF£¬
¡à¡ÏPCF=45¡ã
ͬÀí¿ÉµÃ£º¡ÏEAF=45¡ã£¬
¡à¡ÏPCF=¡ÏEAF£¬
¡àÔÚÖ±ÏßACÉÏ´æÔÚÂú×ãÌõ¼þµÄQ£¬
ÉèQ£¨t£¬1£©ÇÒAB=9$\sqrt{2}$£¬AC=6£¬CP=3$\sqrt{2}$
¡ßÒÔC¡¢P¡¢QΪ¶¥µãµÄÈý½ÇÐÎÓë¡÷ABCÏàËÆ£¬
¢Ùµ±¡÷CPQ¡×¡÷ABCʱ£¬
¡à$\frac{CQ}{AC}=\frac{CP}{AB}$£¬
¡à$\frac{|t+6|}{6}=\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}$£¬
¡àt=-4»òt=-8£¨²»·ûºÏÌâÒ⣬Éᣩ
¡àQ£¨-4£¬1£©
¢Úµ±¡÷CQP¡×¡÷ABCʱ£¬
¡à$\frac{CQ}{AB}=\frac{CP}{AC}$£¬
¡à$\frac{|t+6|}{9\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{6}$£¬
¡àt=3»òt=-15£¨²»·ûºÏÌâÒ⣬Éᣩ
¡àQ£¨3£¬1£©

µãÆÀ ´ËÌâÊǶþ´Îº¯Êý×ÛºÏÌ⣬Ö÷Òª¿¼²éÁË´ý¶¨ÏµÊý·¨£¬ÏàËÆÈý½ÇÐεÄÐÔÖÊ£¬¼¸ºÎͼÐÎÃæ»ýµÄÇ󷨣¨Óø·¨£©£¬½â±¾ÌâµÄ¹Ø¼üÊÇÇóº¯Êý½âÎöʽ£®