Question

【题目】如图，已知线段，按照以下要求作图和证明：用尺规作等边；在的延长线上取点，在的延长线上取点，使得，连接，．求证：．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

作图方法：分别以A、E为圆心以AE为半径作弧，两弧相交于D，延长AE在AE延长线上取一点C，以D为圆心AC为半径与AD延长线交于点B，连接BE，BC.

证明：将△BDE绕点D逆时针旋转60°，利用旋转的性质和平行四边形的判定和性质证明△BDE≌△BHC即可证明BE=BC.

解：如下图，实线部分为所作图.证明过程如下：

将△BDE绕点D逆时针旋转60°得到△HAD，连接AH、BH、CH.

∵∠BDH=60°，BD=HD

∴△BDH是等边三角形，

∴BD=BH

∵∠DAE=∠BDH=60°

∴AC//DH

∵AC=BD

∴AC=DH

∴四边形ADHC是平行四边形

∴CH=AD,∠DHC=∠DAE=60°

∴∠BHC=∠BHD+∠DHC=120°

∴∠BHC=∠BDE=120°

∴△BDE≌△BHC

∴BE=BC.