如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8厘米,点D在AC上,CD=3厘米.点P、Q分别由A、C两点同时出发,点P沿AC方向向点C匀速移动,速度为每秒k厘米,行完AC全程用时8秒;点Q沿CB方向向点B匀速移动,速度为每秒1厘米.设运动的时间为x秒(0<x<8),△DCQ的面积为y1平方厘米,△PCQ的面积为y2平方厘米.
(1)求y1与x的函数关系,并在图2中画出y1的图象;
(2)如图2,y2的图象是抛物线的一部分,其顶点坐标是(4,12),求点P的速度及AC的长;
(3)在图2中,点G是x轴正半轴上一点(0<OG<6,过G作EF垂直于x轴,分别交y1、y2于点E、F.
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义;
②当0<x<6时,求线段EF长的最大值.
解:
解:(1)∵,CD=3,CQ=x, ∴. 图象如图所示. (2)方法一:,CP=8k-xk,CQ=x, ∴. ∵抛物线顶点坐标是(4,12), ∴. 解得. 则点P的速度每秒厘米,AC=12厘米. 方法二:观察图象知,当x=4时,△PCQ面积为12. 此时PC=AC-AP=8k-4k=4k,CQ=4. ∴由,得.解得. 则点P的速度每秒厘米,AC=12厘米. 方法三:设y2的图象所在抛物线的解析式是. ∵图象过(0,0),(4,12),(8,0), ∴解得 ∴. ① ∵,CP=8k-xk,CQ=x, ∴. ② 比较①②得. 则点P的速度每秒厘米,AC=12厘米. (3)①观察图象,知 线段的长EF=y2-y1,表示△PCQ与△DCQ的面积差(或△PDQ面积). ②由(2)得.(方法二,) ∵EF=y2-y1, ∴EF=, ∵二次项系数小于0, ∴在范围,当时,最大. |
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