Question

18．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，∠AEO=∠C，OE交BC于点F．
（1）求证：OE∥BD；
（2）当⊙O的半径为5，sin∠DBA=$\frac{2}{5}$时，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB．只要证明∠E=∠ABD即可解决问题．
（2）由△CBD∽△EBO．可得$\frac{BD}{BO}$=$\frac{CD}{EO}$，推出EO=$\frac{25}{2}$，由OE∥BD，CO=OD，可得OF=$\frac{1}{2}$BD=2，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OB，

∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠ABO=∠OBD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CBO，
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB=OC．
∴∠C=∠CBO，
∴∠C=∠ABD，
∵∠E=∠C，
∴∠E=∠ABD，
∴OE∥BD．

（2）解：由（1）可得sin∠C=∠DBA=$\frac{2}{5}$，
在Rt△OBE中，sin∠C=$\frac{BD}{CD}$，OC=5
∴BD=4，
∵∠CBD=∠EBO=90°，∠E=∠C，
∴△CBD∽△EBO．
∴$\frac{BD}{BO}$=$\frac{CD}{EO}$，
∴EO=$\frac{25}{2}$，
∵OE∥BD，CO=OD，
OF=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴CF=FB．
EF=OE-OF=$\frac{21}{2}$．

点评 本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．